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[数学]三角函数的性质及应用!

三角函数的图象和性质是历年高考必考的内容,在高考中多以选择题或填空题的形式出现。

命题的重点
(1)周期问题,重点是利用函数的最值、零点、图象的对称性等确定周期,其中根据函数图象的对称性求函数周期是热点。

(2)单调性问题,主要涉及三类问题,一是判断函数在指定区间上的单调性,多为选择题;二是求定义域或指定区间上的单调区间,多为选择题、填空题,或解答题中的某一问;三是由函数的单调性求参数,多以选择题或填空题的形式进行考查,属于中等难度。

(3)最值问题,以指定区间上的最值为重点,多为填空题或解答题。

(4)对称性问题,求解函数图象的对称中心、对称轴等,有时与函数图象的平移变换综合命题。

周期问题

公式莫忘绝对值,对称抓住“心”与“轴”。

(1)公式法求周期:
①正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的最小正周期T=2π/|ω|;
②余弦型函数f(x)=Acos(ωx+φ)+B的最小正周期T=2π/|ω|;
③正切型函数f(x)=Atan(ωx+φ)+B的最小正周期T=π/|ω|。

(2)对称性求周期
①两条对称轴距离的最小值等于T/2;
②两个对称中心距离的最小值等于T/2;
③对称中心到对称轴距离的最小值等于T/4。

(3)特征点法求周期
①两个最大值点横坐标之差的绝对值的最小值等于T;
②两个最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于T;
③最大值点与最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于T/2。
由于最值点与函数图象的对称轴相对应,则特征点法求周期实质上就是由对称性求解周期。

例题
已知函数f(x)=2sin(ωx+π/3)的图象的一个对称中心为(π/3,0),其中ω为常数,且ω∈(1,3),若对任意的实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值是(  )
A.1  B.π/2  C.2  D.π

【思路点拨】
先根据对称中心得到ω的关系式,再根据其取值范围即可求得ω的值,显然使得不等式恒成立的x1,x2分别为该函数的最小值点与最大值点,所以|x1-x2|的最小值就是该函数最小正周期的一半,从而即可求解。

【解析】
因为函数f(x)=2sin(ωx+π/3)的图象的一个对称中心为(π/3,0),
所以π/3ω+π/3=kπ,k∈Z
所以ω=3k-1,k∈Z
由ω∈(1,3),得ω=2.
由题意得|x1-x2|的最小值为函数的半个最小正周期,即T/2=π/ω=π/2,故选B。

【解题技巧】
本题中由对称中心和ω的取值范围即可
确定ω的值.而不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,说明f(x1)是函数的最小值,f(x2)是函数的最大值,所以直线x=x1与x=x2是该函数图象的两条对称轴,显然,|x1-x2|的最小值就是两条对称轴距离的最小值,即1/2T。

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